logo
当前位置:首页 > 高考真题 > 正文

2019年天津卷数学(理)高考真题试卷(word版,含答案)

2019-11-07 06:17:31

2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)
  本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3-5页。
  答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
  祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
1.每小题选出答案后,用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
2.本卷共8小题,每小题5分,共40分。
参考公式:
·如果事件、互斥,那么.
·如果事件、相互独立,那么.
·圆柱的体积公式,其中表示圆柱的底面面积,表示圆柱的高.
·棱锥的体积公式,其中表示棱锥的底面面积,表示棱锥的高.
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合,则
A.             B.               C.                  D.
2.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
A.2         B.3             C.5            D.6
3.设,则""是""的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,输出的值为
A.5                  B.8
C.24                 D.29

5.已知抛物线的焦点为,准线为,若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点,且(为原点),则双曲线的离心率为
 A.                  B.              C.             D.
6.已知,,,则的大小关系为
A.           B.             C.           D.
7.已知函数是奇函数,将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),所得图像对应的函数为.若的最小正周期为,且,则
A.            B.           C.              D.
8.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为
A.              B.           C.             D.
第Ⅱ卷
注意事项:
1.用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2.本卷共12小题,共110分。
二.填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
9.是虚数单位,则的值为                 .
10.是展开式中的常数项为                    .
11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形,侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点,另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心,则该圆柱的体积为                .
12.设,直线和圆(为参数)相切,则的值为                .
13.设,则的最小值为                .
14.在四边形中,,点在线段的延长线上,且,则                .
三.解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分13分)
在中,内角所对的边分别为.已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)求的值.
16.(本小题满分13分)
设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件"上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2",求事件发生的概率.
17.(本小题满分13分)
如图,平面,,.
(Ⅰ)求证:平面;
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角的余弦值为,求线段的长.

18.(本小题满分13分)
设椭圆的左焦点为,上顶点为.已知椭圆的短轴长为4,离心率为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设点在椭圆上,且异于椭圆的上、下顶点,点为直线与轴的交点,点在轴的负半轴上.若(为原点),且,求直线的斜率.
19.(本小题满分14分)
设是等差数列,是等比数列.已知.
(Ⅰ)求和的通项公式;
(Ⅱ)设数列满足其中.
(i)求数列的通项公式;
(ii)求.
20.(本小题满分14分)
设函数为的导函数.
(Ⅰ)求的单调区间;
(Ⅱ)当时,证明;
(Ⅲ)设为函数在区间内的零点,其中,证明.
2019年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工类)参考解答
一.选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分40分.
1.D           2.C          3.B            4.B           5.D              6.A 
7.A           8.C
二.填空题:本题考查基本知识和基本运算.每小题5分,满分30分.
9.            10.             11.        12.               13.      14.
三.解答题
15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系,两角和正弦公式,二倍角的正弦与余弦公式,以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力,满分13分.
(Ⅰ)解:在中,由正弦定理,得,又由,得,即.又因为,得到,.由余弦定理可得.
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可得,从而,,故

16.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望,互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.
(Ⅰ)解:因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,故,从而.
所以,随机变量的分布列为
0 1 2 3 随机变量的数学期望.
(Ⅱ)解:设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为,则,且.由题意知事件与互斥,且事件与,事件与均相互独立,从而由(Ⅰ)知

      .
17.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.
依题意,可以建立以为原点,分别以的方向为轴,轴,轴正方向的空间直角坐标系(如图),可得,.设,则.
(Ⅰ)证明:依题意,是平面的法向量,又,可得,又因为直线平面,所以平面.
(Ⅱ)解:依题意,.
设为平面的法向量,则即不妨令,
可得.因此有.
所以,直线与平面所成角的正弦值为.
(Ⅲ)解:设为平面的法向量,则即
不妨令,可得.
由题意,有,解得.经检验,符合题意.
所以,线段的长为.

18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力,以及用方程思想解决问题的能力.满分13分.
(Ⅰ)解:设椭圆的半焦距为,依题意,,又,可得,.
所以,椭圆的方程为.
(Ⅱ)解:由题意,设.设直线的斜率为,又,则直线的方程为,与椭圆方程联立整理得,可得,代入得,进而直线的斜率.在中,令,得.由题意得,所以直线的斜率为.由,得,化简得,从而.
所以,直线的斜率为或.
19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.
(Ⅰ)解:设等差数列的公差为,等比数列的公比为.依题意得解得故.
所以,的通项公式为的通项公式为.
(Ⅱ)(i)解:.
所以,数列的通项公式为.
(ii)解:
               
              
             .
20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分.
(Ⅰ)解:由已知,有.因此,当时,有,得,则单调递减;当时,有,得,则单调递增.
所以,的单调递增区间为的单调递减区间为.
(Ⅱ)证明:记.依题意及(Ⅰ),有,从而.当时,,故
.
因此,在区间上单调递减,进而.
所以,当时,.
(Ⅲ)证明:依题意,,即.记,则,且.
由及(Ⅰ),得.由(Ⅱ)知,当时,,所以在上为减函数,因此.又由(Ⅱ)知,,故
.
所以,.








适用地区
  • 全国Ⅰ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南、山东
  • 全国Ⅱ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:甘肃、青海、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、陕西、重庆
  • 全国Ⅲ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏
  • 北京卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:北京
  • 天津卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:天津
  • 江苏卷:语文  数学  英语  化学  物理  生物  政治  历史  地理
    适用地区:江苏
  • 浙江卷:语文  数学  英语
    适用地区:浙江
  • 上海卷:语文  数学  英语
    适用地区:上海
  • 海南卷:语文  理数  文数  英语  化学  物理  生物  政治  历史  地理
    适用地区:海南
    *全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各省有交叉使用现象