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2016年高考北京卷文数试题(含答案)

2019-11-07 07:14:08

绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国考试
数学(文)(北京卷)
本试卷共5页,150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效。考试结束后,将本市卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合,则 
(A)  (B) (C) (D)
(2)复数 
(A)i(B)1+i(C) (D)
(3)执行如图所示的程序框图,输出的s值为
(A)8
(B)9
(C)27
(D)36                            


(4)下列函数中,在区间 上为减函数的是
(A) (B) (C) (D) 
(5)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为
  (A)1     (B)2     (C)    (D)2
(6)从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为
  (A)   (B)    (C)     (D) 
(7)已知A(2,5),B(4,1).若点P(x,y)在线段AB上,则2x?y的最大值为
  (A)?1    (B)3     (C)7      (D)8 
(8)某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段.下表为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊.
学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a?1 b 65 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则
  (A)2号学生进入30秒跳绳决赛   (B)5号学生进入30秒跳绳决赛   
  (C)8号学生进入30秒跳绳决赛   (D)9号学生进入30秒跳绳决赛
第二部分(非选择题共110分)
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)已知向量 ,则a与b夹角的大小为_________.
(10)函数的最大值为_________.
(11)某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为___________.

(12) 已知双曲线 (a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为( ,0),则a=_______;b=_____________.
(13)在△ABC中, ,a=c,则=_________.
(14)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种;
②这三天售出的商品最少有_______种.

三、解答题(共6题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)
(15)(本小题13分)
已知{}是等差数列,{}是等差数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.
(Ⅰ)求{}的通项公式;
(Ⅱ)设= + ,求数列{}的前n项和.




(16)(本小题13分)
  已知函数f(x)=2s ωx cos ωx+ cos 2ωx(ω>0)的最小正周期为π.
(Ⅰ)求ω的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间.






(17)(本小题13分)
  某市民用水拟实行阶梯水价,每人用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如下频率分布直方图:

(I)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少?
(II)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费.







(18)(本小题14分)
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,
(I)求证:;
(II)求证:;
(III)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得?说明理由.






(19)(本小题14分)
已知椭圆C:过点A(2,0),B(0,1)两点.
(I)求椭圆C的方程及离心率;
(II)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形M的面积为定值.








(20)(本小题13分)
设函数
(I)求曲线在点处的切线方程;
(II)设,若函数有三个不同零点,求c的取值范围;
(III)求证:是有三个不同零点的必要而不充分条件.



2016年普通高等学校招生全国统一考试
数学(文)(北京卷)参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
(1)C  (2)A  (3)B  (4)D  (5)C  (6)B  (7)C  (8)B
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
(9)   (10)2    (11)   (12)1     2    
(13)1    (14)16      29
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)(共13分)
解:(I)等比数列的公比,
所以,.
设等差数列的公差为.
因为,,
所以,即.
所以(,,,).
(II)由(I)知,,.
因此.
从而数列的前项和



(16)(共13分)
解:(I)因为


所以的最小正周期.
依题意,,解得.
(II)由(I)知.
函数的单调递增区间为().
由,
得.
所以的单调递增区间为().
(17)(共14分)
解:(I)由用水量的频率分布直方图知,
该市居民该月用水量在区间,,,,内的频
率依次为,,,,.
所以该月用水量不超过立方米的居民占%,用水量不超过立方米的居民占%.
依题意,至少定为.
(II)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:
组号 1 2 3 4 5 6 7 8 分组 频率 根据题意,该市居民该月的人均水费估计为:

(元).
(18)(共13分)
解:(I)因为平面,
所以.
又因为,
所以平面.
(II)因为,,
所以.
因为平面,
所以.
所以平面.
所以平面平面.
(III)棱上存在点,使得平面.证明如下:
取中点,连结,,.
又因为为的中点,
所以.
又因为平面,
所以平面.
  
(19)(共14分)
解:(I)由题意得,,.
所以椭圆的方程为.
又,
所以离心率.
(II)设(,),则.
又,,所以,
直线的方程为.
令,得,从而.
直线的方程为.
令,得,从而.
所以四边形的面积





从而四边形的面积为定值.
(20)(共13分)
解:(I)由,得.
因为,,
所以曲线在点处的切线方程为.
(II)当时,,
所以.
令,得,解得或.
与在区间上的情况如下:
所以,当且时,存在,,
,使得.
由的单调性知,当且仅当时,函数有三个不同零点.
(III)当时,,,
此时函数在区间上单调递增,所以不可能有三个不同零点.
当时,只有一个零点,记作.
当时,,在区间上单调递增;
当时,,在区间上单调递增.
所以不可能有三个不同零点.
综上所述,若函数有三个不同零点,则必有.
故是有三个不同零点的必要条件.
当,时,,只有两个不同
零点, 所以不是有三个不同零点的充分条件.
因此是有三个不同零点的必要而不充分条件.

北京 普通

适用地区
  • 全国Ⅰ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南、山东
  • 全国Ⅱ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:甘肃、青海、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、陕西、重庆
  • 全国Ⅲ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏
  • 北京卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:北京
  • 天津卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:天津
  • 江苏卷:语文  数学  英语  化学  物理  生物  政治  历史  地理
    适用地区:江苏
  • 浙江卷:语文  数学  英语
    适用地区:浙江
  • 上海卷:语文  数学  英语
    适用地区:上海
  • 海南卷:语文  理数  文数  英语  化学  物理  生物  政治  历史  地理
    适用地区:海南
    *全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各省有交叉使用现象