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2016年高考天津卷理数试题(含答案)

2019-11-05 01:54:33

绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数  学(理工类)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分,考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3至5页。
  答卷前,考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上,并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时,考生务必将答案涂写在答题卡上,答在试卷上的无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利!
第Ⅰ卷
注意事项:
  1. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
  2. 本卷共8小题,每小题5分,共40分。
  参考公式:
  ?如果事件,互斥,那么 ?如果事件,相互独立,那么
. .
  ?圆柱的体积公式.?圆锥的体积公式.
  其中表示圆柱的底面面积,        其中表示圆锥的底面面积,
  表示圆柱的高.表示圆锥的高.
一.  选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 
(1)已知集合,,则
   (A) (B)  
  (C) (D)
(2)设变量,满足约束条件则目标函数的最小值为
   (A) (B) (C) (D)
(3) 在中,若,,,

(A)  (B)
  (C) (D)
(4) 阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出
的值为

(A)  (B)
  (C) (D)
(5) 设是首项为正数的等比数列,公比为,则
""是"对任意的正整数,"的
  (A) 充要条件        
(B)充分而不必要条件
  (C)必要而不充分条件     
  (D)既不充分也不必要条件
(6)已知双曲线,以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于,,,四点,四边形的面积为,则双曲线的方程为
  (A) (B) (C)(D)
(7) 已知是边长为的等边三角形,点,分别是边,的中点,连接
并延长到点,使得,则的值为
  (A) (B) (C) (D)
(8)已知函数(,且)在R上单调递减,且关于的方程恰好有两个不相等的实数解,则的取值范围是
  (A)  (B)
  (C){}     (D){}  


绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数  学(理工类)
第Ⅱ卷
注意事项:
1. 用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上. 
2. 本卷共12小题, 共110分.
二.填空题: 本大题共6小题, 每小题5分, 共30分.
(9)已知,R,是虚数单位,若,则的值为_____________.
(10)的展开式中的系数为_____________.(用数字作答)
(11)已知一个四棱锥的底面是平行四边形,该四棱
锥的三视图如图所示(单位:),则该四棱锥的体积为_________.

(12) 如图,是圆的直径,弦与相交于点,
,,则线段的长
为_____________.

(13) 已知是定义在R上的偶函数,且在区间
上单调递增.若实数满足,
则的取值范围是_____________.
(14) 设抛物线(为参数,)的焦
点,准线为.过抛物线上一点作的垂线,垂足为
.设,与相交于点.若,
且的面积为,则的值为_____________.


三.  解答题:本大题共6小题,共80分.  解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
(15)(本小题满分13分)
  已知函数.
  (Ⅰ)求的定义域与最小正周期;
  (Ⅱ)讨论在区间上的单调性.


(16) (本小题满分13分)
  某小组共人,利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为,,的人数分
别为,,.现从这人中随机选出人作为该组代表参加座谈会.
  (Ⅰ)设为事件"选出的人参加义工活动次数之和为",求事件发生的概率;
  (Ⅱ)设为选出的人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列
和数学期望.


(17) (本小题满分13分)
  如图,正方形的中心为,四边形为矩形,平面平面,点为的中点,.
  
  (Ⅰ)求证:∥平面;
  (Ⅱ)求二面角的正弦值;
  (Ⅲ)设为线段上的点,且,
  求直线和平面所成角的正弦值. 
  
  





(18) (本小题满分13分)
  已知是各项均为正数的等差数列,公差为.对任意的,是和的等比中项.
  (Ⅰ)设,,求证:数列是等差数列;
  (Ⅱ)设,,,求证.



(19) (本小题满分14分)
  设椭圆的右焦点为,右顶点为.已知,
其中为原点,为椭圆的离心率. 
  (Ⅰ)求椭圆的方程;
  (Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上),垂直于的直线与交于点,与轴交于点.若,且≤,求直线的斜率的取值范
围.



(20) (本小题满分14分)
  设函数,R,其中,R.
  (Ⅰ)求的单调区间;
  (Ⅱ)若存在极值点,且,其中,求证:;
(Ⅲ)设,函数,求证:在区间上的最大值不小于
2016年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数   学(理工类)
一、选择题:
(1)【答案】D
(2)【答案】B
(3)【答案】A
(4)【答案】B
(5)【答案】C
(6)【答案】D
(7)【答案】B
(8)【答案】C
 
第Ⅱ卷
二、填空题:
(9)【答案】2
(10)【答案】
(11)【答案】2
(12)【答案】
(13)【答案】
 (14) 【答案】
三、解答题
(15)
【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先利用诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式将函数化为基本三角函数:,再根据正弦函数性质求定义域、周期根据(1)的结论,研究三角函数在区间[]上单调性
 试题解析: 解:的定义域为.
 
 
 .
 所以, 的最小正周期
 解:令函数的单调递增区间是
 由,得
  设,易知.
所以, 当时, 在区间上单调递增, 在区间上单调递减.
考点:三角函数性质,诱导公式、两角差余弦公式、二倍角公式、配角公式
【结束】
 (16) 
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先确定从这10人中随机选出2人的基本事件种数:,再确定选出的2人参加义工活动次数之和为4所包含基本事件数:,最后根据概率公式求概率(Ⅱ)先确定随机变量可能取值为再分别求出对应概率,列出概率分布,最后根据公式计算数学期望
试题解析:解:由已知,有
                 
所以,事件发生的概率为.
随机变量的所有可能取值为
             ,
             ,
             .
所以,随机变量分布列为
随机变量的数学期望.
考点:概率,概率分布与数学期望
【结束】
 (17) 
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)(Ⅲ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,利用法向量与直线方向向量垂直进行论证(Ⅱ)利用空间向量求二面角,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值(Ⅲ)利用空间向量证明线面平行,关键是求出面的法向量,再利用向量数量积求出法向量夹角,最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值
试题解析:依题意,,如图,以为点,分别以的方向为轴,轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得,.
  
(I)证明:依题意,.设为平面的法向量,则,即 .不妨设,可得,又,可得,又因为直线,所以.
(II)解:易证,为平面的一个法向量.依题意,.设为平面的法向量,则,即 .不妨设,可得.
因此有,于是,所以,二面角的正弦值为.
(III)解:由,得.因为,所以,进而有,从而,因此.所以,直线和平面所成角的正弦值为.
考点:利用空间向量解决立体几何问题
【结束】
(18) 
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析
【解析】
试题分析:(Ⅰ)先根据等比中项定义得:,从而,因此根据等差数列定义可证:(Ⅱ) 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简,再利用裂项相消法求和,易得结论.
试题解析:(I)证明:由题意得,有,因此,所以是等差数列.
(II)证明: 
       
所以.
考点:等差数列、等比中项、分组求和、裂项相消求和
【结束】
(19)
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求椭圆标准方程,只需确定量,由,得,再利用,可解得,(Ⅱ)先化简条件:,即M再OA中垂线上,,再利用直线与椭圆位置关系,联立方程组求;利用两直线方程组求H,最后根据,列等量关系解出直线斜率.取值范围
 试题解析:(1)解:设,由,即,可得,又,所以,因此,所以椭圆的方程为.
(2)(Ⅱ)解:设直线的斜率为(),则直线的方程为.设,由方程组,消去,整理得.
解得,或,由题意得,从而.
由(Ⅰ)知,,设,有,.由,得,所以,解得.因此直线的方程为.
设,由方程组消去,解得.在中,,即,化简得,即,解得或.
所以,直线的斜率的取值范围为.
考点:椭圆的标准方程和几何性质,直线方程
【结束】
(20)
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析
【解析】
 试题分析:(Ⅰ)先求函数的导数:,再根据导函数零点是否存在情况,分类讨论:①当时,有恒成立,所以的单调增区间为.②当时,存在三个单调区间(Ⅱ)由题意得,计算可得再由及单调性可得结论(Ⅲ)实质研究函数最大值:主要比较,的大小即可,分三种情况研究①当时,,②当时,,③当时,.
试题解析:(Ⅰ)解:由,可得.
下面分两种情况讨论:
(1)当时,有恒成立,所以的单调递增区间为.
(2)当时,令,解得,或.
当变化时,,的变化情况如下表:
+ 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以的单调递减区间为,单调递增区间为,.
(Ⅱ)证明:因为存在极值点,所以由(Ⅰ)知,且,由题意,得,即,
进而.

,且,由题意及(Ⅰ)知,存在唯一实数满足 ,且,因此,所以;
(Ⅲ)证明:设在区间上的最大值为,表示两数的最大值.下面分三种情况同理:
(1)当时,,由(Ⅰ)知,在区间上单调递减,所以在区间上的取值范围为,因此


,所以.
(2)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,,,
所以在区间上的取值范围为,因此


.
(3)当时,,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知,
,,
所以在区间上的取值范围为,因此


.
综上所述,当时,在区间上的最大值不小于.
考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式
【结束】

天津 普通

适用地区
  • 全国Ⅰ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:安徽、湖北、福建、湖南、山西、河北、江西、广东、河南、山东
  • 全国Ⅱ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:甘肃、青海、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、新疆、内蒙古、陕西、重庆
  • 全国Ⅲ卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:云南、四川、广西、贵州、西藏
  • 北京卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:北京
  • 天津卷:理数  英语  文综  理综  语文  文数
    适用地区:天津
  • 江苏卷:语文  数学  英语  化学  物理  生物  政治  历史  地理
    适用地区:江苏
  • 浙江卷:语文  数学  英语
    适用地区:浙江
  • 上海卷:语文  数学  英语
    适用地区:上海
  • 海南卷:语文  理数  文数  英语  化学  物理  生物  政治  历史  地理
    适用地区:海南
    *全国卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各省有交叉使用现象